数模转换过程中的频谱失真及其校正方法

1　数模转换器（D／A）的数学模型［1］
　　设数字化信号处理系统的原始模拟输入信号为xa（t），经过冲激采样，得到理想采样信号

式（1-1）中T为采样的时间间隔。

　　

（ω）是xa（ω）的周期重复，重复周期为采样角频率ωs。若模拟信号xa（t）＝sinω0t，采样信号

及其频谱如图1-1a、图1-1 b所示。图中，信号频率为0．1ωs，其它对称于ωs、2ωs、3ωs等处的频率成分为基带信号的镜象和谐波，幅值和基带信号相同。如将采样信号

恢复为模拟信号，仅需滤除这些镜象和谐波，保留基带信号即可。
　　在实际系统中，理想采样信号通过A／D转换器在t＝nT时刻量化为数据序列x（n），经D／A转换器输出，波形如图1-2a所示。图中波形可以看作是一系列矩形脉冲的顺序排列组合，每一个矩形脉冲是D／A转换器对输入数据的冲激响应，故D／A转换器的单位冲激响应为一高度为1，宽度为T的矩形脉冲，表示为




式（1-3）中，u(t-T)分别为t=0和t=T时刻的单位阶跃函数。由此，D／A转换器的输出波形可由下式表达

D／A转换器的频率响应函数H（jω）为式（1-3）的傅里叶变换，即

　　当以时间间隔T向D／A转换器传递数据序列x（n）时，可以认为式（1-1）所示的理想采样信号作用在D／A转换器的输入端，其输出信号的频谱幅值为


和H（ω）的图形分别如图1-2b中实线和虚线所示。与图1-1b中采样信号的频谱对比，D／A转换器相当于一种非理想的低通滤波器。虽然不同程度地滤除了高频端的谐波分量，但在

的有效频带内，滤波器的增益随着频率的增高而下降，造成信号的频谱失真。
2　D／A转换过程中频谱失真的校正方法
针对D／A转换器的频响特性，校正网络在0～

频带内应是一个高频提升网络。其频响函数直接由式（1-6）导出

式（2-1）中略去了H（ω）的系数T。文中利用FIR型数字滤波器实现式（2-1）的校正特性。
　　FIR型数字滤波器的频率采样设计法可以实现任意的频率响应特性。其基本的设计思想是对理想频响特性Hd（ω）进行频率取样，然后对取样值进行离散频率、离散时间的傅里叶反变换，获得滤波器的单位冲激响应h（n）。而滤波器计算公式为h（n）与输入序列x（n）的离散卷积运算。
　　对于式（2-1）所示的理想特性，滤波器的单位冲激响应为


滤波器的输出公式为

　　将单位冲激响应h（n）进行一次离散时间、连续频率的傅里叶正变换，就得到连续频率变量的滤波器频响函数




取M＝20，由式（2-3）计算滤波器的冲激响应h(n)如图2-1a所示。由式（2-6）计算0～

范围内的滤波器频响特性如图2-1b所示，其中虚线为D／A转换器的频响特性。将式（2-6）与式（1-6）相乘，得校正后0～3ωs范围内滤波器和D／A转换器的总频响曲线，如图2-1c所示，其通带波动不超过1‰。
　　为检验实际校正的结果，设模拟输入信号为双频信号

分别为1Hz和10Hz。取采样频率为25Hz，令采样并量化的序列x（n）经式（2-4）校正运算后再由D／A转换器输出，则恢复的波形频谱如图2-1d所示。由图2-1可见，在0
的频率范围内，频谱已得到精确的校正，原始信号两个频率成分在经过A／D和D／A转换后能够保持精确的相等。
3　结束语
D／A转换器是一个数字模拟混合器件。但在分析中，将以相等时间间隔锁定到D／A转换器的数据序列看作是理想采样信号，从而导出了D／A转换器的幅频特性式（1-6）。说明了D／A转换器可以看作是一种特殊的模拟低通滤波器。又根据式（1-6），直接写出校正网络理想化的传递特性式（2-1），由此利用频率采样法设计FIR校正滤波器，具有理想的频谱校正效果。