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[基础电路] 数模转换过程中的频谱失真及其校正方法

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admin 发表于 2013-2-23 13:11:35 | 显示全部楼层 |阅读模式

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1 数模转换器(D/A)的数学模型[1]
    设数字化信号处理系统的原始模拟输入信号为xa(t),经过冲激采样,得到理想采样信号
   20121119052621556546.jpg
  式(1-1)中T为采样的时间间隔。
   20121119052621587797.jpg
    
   20121119052621603418.jpg
  (ω)是xa(ω)的周期重复,重复周期为采样角频率ωs。若模拟信号xa(t)=sinω0t,采样信号
   20121119052621634669.jpg
  及其频谱如图1-1a、图1-1 b所示。图中,信号频率为0.1ωs,其它对称于ωs、2ωs、3ωs等处的频率成分为基带信号的镜象和谐波,幅值和基带信号相同。如将采样信号
   201211190526216502910.jpg
  恢复为模拟信号,仅需滤除这些镜象和谐波,保留基带信号即可。
    在实际系统中,理想采样信号通过A/D转换器在t=nT时刻量化为数据序列x(n),经D/A转换器输出,波形如图1-2a所示。图中波形可以看作是一系列矩形脉冲的顺序排列组合,每一个矩形脉冲是D/A转换器对输入数据的冲激响应,故D/A转换器的单位冲激响应为一高度为1,宽度为T的矩形脉冲,表示为
   201211190526216659111.jpg
  
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  式(1-3)中,u(t-T)分别为t=0和t=T时刻的单位阶跃函数。由此,D/A转换器的输出波形可由下式表达
   201211190526217127814.jpg
  D/A转换器的频率响应函数H(jω)为式(1-3)的傅里叶变换,即
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    当以时间间隔T向D/A转换器传递数据序列x(n)时,可以认为式(1-1)所示的理想采样信号作用在D/A转换器的输入端,其输出信号的频谱幅值为
   201211190526217284116.jpg
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  和H(ω)的图形分别如图1-2b中实线和虚线所示。与图1-1b中采样信号的频谱对比,D/A转换器相当于一种非理想的低通滤波器。虽然不同程度地滤除了高频端的谐波分量,但在
   201211190526218065318.jpg
  的有效频带内,滤波器的增益随着频率的增高而下降,造成信号的频谱失真。
  2 D/A转换过程中频谱失真的校正方法
  针对D/A转换器的频响特性,校正网络在0~
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其频响函数直接由式(1-6)导出
   201211190526218534120.jpg
  式(2-1)中略去了H(ω)的系数T。文中利用FIR型数字滤波器实现式(2-1)的校正特性。
其基本的设计思想是对理想频响特性Hd(ω)进行频率取样,然后对取样值进行离散频率、离散时间的傅里叶反变换,获得滤波器的单位冲激响应h(n)。而滤波器计算公式为h(n)与输入序列x(n)的离散卷积运算。
    对于式(2-1)所示的理想特性,滤波器的单位冲激响应为
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  滤波器的输出公式为
   201211190526219002823.jpg
    将单位冲激响应h(n)进行一次离散时间、连续频率的傅里叶正变换,就得到连续频率变量的滤波器频响函数
   201211190526219159024.jpg
  
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   201211190526219471526.jpg
  取M=20,由式(2-3)计算滤波器的冲激响应h(n)如图2-1a所示。由式(2-6)计算0~
   201211190526219471527.jpg
  范围内的滤波器频响特性如图2-1b所示,其中虚线为D/A转换器的频响特性。将式(2-6)与式(1-6)相乘,得校正后0~3ωs范围内滤波器和D/A转换器的总频响曲线,如图2-1c所示,其通带波动不超过1‰。
    为检验实际校正的结果,设模拟输入信号为双频信号
   201211190526219627828.jpg
  分别为1Hz和10Hz。取采样频率为25Hz,令采样并量化的序列x(n)经式(2-4)校正运算后再由D/A转换器输出,则恢复的波形频谱如图2-1d所示。由图2-1可见,在0
  的频率范围内,频谱已得到精确的校正,原始信号两个频率成分在经过A/D和D/A转换后能够保持精确的相等。
  3 结束语
  D/A转换器是一个数字模拟混合器件。但在分析中,将以相等时间间隔锁定到D/A转换器的数据序列看作是理想采样信号,从而导出了D/A转换器的幅频特性式(1-6)。又根据式(1-6),直接写出校正网络理想化的传递特性式(2-1),由此利用频率采样法设计FIR校正滤波器,具有理想的频谱校正效果。
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